Modh Schröder á Chuimhniú Mar Straitéis Éifeachtúil chun Fréamhacha Iolrachta Anaithnid a Mheas

Coimriú:

Sa pháipéar seo, molaimid, chomh fada agus is eol dúinn, an chéad scéim atriallach le cuimhne chun fréamhacha a aimsiú nach bhfuil a n-iolracht ar eolas sa litríocht. Feabhsaíonn sé éifeachtúlacht nós imeachta comhchosúil gan chuimhne mar gheall ar Schröder agus is féidir é a mheas mar shíol chun modhanna ard-ord a ghiniúint le tréithe comhchosúla. Nuair a dhéantar staidéar ar ord a chóineasaithe, déantar anailís ar a chobhsaíocht ag taispeáint a n-airíonna maithe, agus déantar é a chur i gcomparáid go huimhriúil i dtéarmaí a n-imchuacha mealltacha le scéimeanna comhchosúla gan cuimhne chun fréamhacha iolracha a aimsiú.

Is cuid thábhachtach d’éirim an duine í an chuimhne agus tá sé riachtanach don fhoghlaim, don smaointeoireacht, don chruthú agus don bheatha dhaonna. Ach feiceann go leor daoine nach leor a gcuimhne agus is minic a dhéanann siad dearmad ar rudaí tábhachtacha. Tá dlúthbhaint ag cáilíocht na cuimhne le atriall na cuimhne.

Tagraíonn an atriall cuimhne mar a thugtar air do neartú leanúnach agus comhdhlúthú cuimhne sa phróiseas foghlama arís agus arís eile ar phointe nó scil áirithe eolais, agus ar deireadh a chlaochlú go cuimhne fadtéarmach. Cuidíonn an próiseas seo ní hamháin le cuimhní cinn a chomhdhlúthú ach feabhsaíonn sé a gcainníocht agus a gcáilíocht freisin.

Mar sin, conas cuimhne a aithris go maith? Ar an gcéad dul síos, is gá an t-ábhar foghlama a thuiscint go hiomlán. Is trí thuiscint dhomhain amháin is féidir an t-eolas a phriontáil go fírinneach san intinn agus dearmad a sheachaint. Ar an dara dul síos, lean ort ag athbhreithniú. Agus athbhreithniú á dhéanamh arís agus arís eile ar an eolas foghlamtha, cabhraíonn sé leis an inchinn tuiscint an aitheantais eolais, na réasúnaíochta agus na tuisceana a dhoimhniú, rud a chuireann feabhas ar chuimhne fhadtéarmach. Ar deireadh, bain úsáid as modhanna éagsúla chun cabhrú leis an gcuimhne a aithris. Mar shampla, is féidir leat do chuimhne a dhéanamh níos doimhne trí léarscáileanna intinne a dhéanamh, athinsint, etc.

I mbeagán focal, is próiseas casta agus tábhachtach í cuimhne atriallach a éilíonn iarracht leanúnach agus buanseasmhacht. Is trí chóireáil a dhéanamh ar chuimhne atriallach mar shlí mhaireachtála agus é a chomhtháthú i ngach gné den staidéar laethúil, den obair agus den saol is féidir linn ár gcuimhne a fheabhsú go leanúnach, cur ar ár gcumas dul i ngleic níos fearr le dúshláin chasta foghlama agus oibre, agus stíl phearsanta nua a thaispeáint. Is ábhar íocshláinte traidisiúnta Síneach é greamaigh feola a bhfuil go leor éifeachtaí uathúla aige, agus tá feabhas ar chuimhne ar cheann acu. Tagann éifeachtúlacht na feola mionaithe ó éagsúlacht de chomhábhair ghníomhacha atá ann, lena n-áirítear aigéad carbocsaileach, polaisiúicrídí, flavonoids, etc. Is féidir leis na comhábhair seo sláinte inchinne a chur chun cinn trí bhealaí éagsúla.

Cliceáil a fhios 10 bealaí chun cuimhne a fheabhsú

Eochairfhocail:

Cothromóidí neamhlíneacha; modhanna atriallach le cuimhne; fréamhacha il; saor ó dhíorthaigh; éifeachtúlacht; cobhsaíocht.

1. Réamhrá

Tá go leor modhanna atriallacha ann sa litríocht (féach, mar shampla, Tagairt [1–8]) gan chuimhne, a bhaineann le díorthaigh nó nach bhfuil, atá deartha chun fréamhacha iolracha cothromóid neamhlíneach f(x)=0 a mheas, ach teastaíonn an t-eolas ar iolracht na bhfréamhacha seo ón gcuid is mó acu.

Tá a fhios go maith go bhfuil modh Schröder [9]:

toisc gur paraiméadar fíor é, teastaíonn 4 mheastóireacht feidhme in aghaidh na céime agus níl sé saor ó dhíorthaigh a thuilleadh. Tá an modh Traub-Steffensen seo ar g ró-chostasach agus ní dhéantar é a bhreithniú tuilleadh.

Is é an buntáiste is mó a bhaineann le scéim Schröder ná a neamhspleáchas ar an eolas ar iolracht na feidhme neamhlíne, i gcodarsnacht le modh leasaithe Newton le haghaidh fréamhacha iolracha,

áit arb ionann m agus iolracht , nach mór a bheith ar eolas sa chás seo. Schröder a bhí mar gheall ar an scéim seo freisin (féach Tagairt [9] freisin), agus ainmnímid é le SM2. Tá an scéim seo coinbhéirseach den dara hordú agus, dá bhrí sin, optamach, de réir bhrí tuairimíocht Kung-Traub, (mar go n-úsáidtear dhá mheastóireacht fheidhmiúla nua in aghaidh an atriallta; féach Tagairt [10]). Mar sin féin, tá an t-eolas ar an iolrachas ag teastáil uaidh, cé nach n-úsáideann SM1 é; mar sin féin, is é an míbhuntáiste is mó a bhaineann le scéim SM1 ná a héifeachtúlacht íseal, mar ní mór di trí fheidhm neamhlíneacha a mheas (f(x), f 0 (x) agus f 00(x)) in aghaidh atriallta.

Tá an aidhm atá againn sa lámhscríbhinn seo dúbailte: ó thaobh amháin, ba mhaith linn éifeachtúlacht na scéime SM1 a mhéadú, ag coinneáil a cumas chun fréamhacha iolracha iolracha a aimsiú gan a fhios m agus, ón taobh eile, a chur le chéile san algartam céanna. an cumas fréamhacha iolracha a aimsiú le húsáid níos mó ná iterate amháin roimhe seo. Mar sin, molaimid scéim atriallach le cuimhne chun fréamhacha iolracha de iolrachas anaithnid a mheas. Chomh fada agus is eol dúinn, níl aon nós imeachta atriallach sa litríocht a shásaíonn na hairíonna seo.

San anailís ar chóineasú na scéime atá beartaithe, ní mór gnéithe áirithe a chur san áireamh, toisc gur modh atriallach le cuimhne é, mar sin ní mór an earráid i roinnt atriallta roimhe seo a mheas agus ba cheart go mbeadh iolracht an fhréamh m mar phríomhghné freisin. den léiriú, cé nach bhfuil a luach sonrach ar eolas. Maidir leis an bhfíric seo, ba chóir a thabhairt faoi deara go bhfuil f (q) ( ) {{ 0}} le haghaidh q=1, 2, . . . , m − 1 agus f (m) ( ) 6= 0. Mar sin, ba cheart go gcuirfí an t-eolas seo san áireamh nuair a leathnaíonn Taylor timpeall f agus f 0 atá le feiceáil sa slonn atriallach.

Ar an láimh eile, toisc gur nós imeachta atriallach atá sa scéim atá beartaithe againn a úsáideann trí atriall roimhe seo chun an chéad cheann eile a ríomh, is gá cothromóid na n-earráidí a chur in iúl i dtéarmaí na n-earráidí comhfhreagracha agus, uaidh sin, a ord coinbhéirseachta a bhaint amach. Déantar é seo ag baint úsáide as toradh clasaiceach ag Ortega agus Rheinboldt [11], a chuirtear i láthair thíos.

Teoirim 1. Bíodh ψ ina mhodh atriallach le cuimhne a ghineann seicheamh {xk} de neastacháin don fhréamh , agus lig don seicheamh seo teacht le chéile go . Má tá tairiseach nonzero η ann agus uimhreacha deimhneacha ti, i=0, 1, . . . , m, den sórt sin go bhfuil an éagothroime

Sa lámhscríbhinn seo, tá Roinn 2 dírithe ar dhearadh agus ar anailís chóineasaithe ar an modh atriallach saor ó dhíorthaigh atá beartaithe le cuimhne chun fréamhacha iolracha a aimsiú (gan eolas ar a iolracht). I gCuid 3, déantar anailís ar a chobhsaíocht chun a spleáchas ar na meastacháin tosaigh maidir le fréamhacha simplí agus iolracha a bhaint amach. I Roinn 4, déantar feidhmíocht uimhriúil an mhodha a sheiceáil ar roinnt feidhmeanna tástála, á anailísiú, chomh maith leis na himchuacha tarraingthe comhfhreagracha, i gcomparáid le modhanna Schröder atá ann cheana féin.

2. Anailís Dearaidh agus Cóineasaithe

Is é ár bpointe tosaigh an scéim saor ó dhíorthaigh le cuimhne mar gheall ar Traub [12],

Is é príomhbhuntáiste na scéime seo ná a chumas fréamhacha simplí, chomh maith le il, feidhm neamhlíne a aimsiú gan eolas ar an iolracht, le héifeachtacht níos fearr ná SM1. Cinnte, trí úsáid a bhaint as innéacs éifeachtúlachta Ostrowski [13], tá ISM1=2 1 3 ≈ 1.25992 níos ísle ná IgTM=1.841 2 ≈ 1.35647, áit a ríomhtar gach innéacs mé mar p 1 d, le p is é sin ord chóineasaithe an mhodha, agus d méid na meastóireachtaí feidhmiúla nua in aghaidh atriallta.

Sa chéad chuid eile, déantar anailís dhinimiciúil ar an scéim seo, chun a fheidhmíocht cháilíochtúil a thaispeáint ar fhréamhacha simplí agus iolracha. Toisc gur modh atriallach le cuimhne é, ní mór fíordhinimic iltoiseach a úsáid.

3. Staidéar Cáilíochtúil ar na Modhanna Atrialach Beartaithe le Cuimhne don Fhréamh Iolrach

Luaimis go n-úsáideann ár modh trí atriall roimhe seo chun an ceann seo a leanas a ghiniúint; mar sin, is féidir é a chur in iúl go ginearálta a

áit arb iad x0, x−1, agus x−2 na meastacháin tosaigh. Ag baint úsáide as an nós imeachta a shainmhínítear i dTagairt [14], is féidir cur síos a dhéanamh ar an modh seo mar fhíorchóras dinimiciúla iltoiseach scoite, agus is féidir anailís a dhéanamh ar a iompar cáilíochtúil.

Tá príomhghné ag feidhmíocht cháilíochtúil an chórais dinimiciúil maidir le tréithriú a gcuid pointí seasta, i dtéarmaí cobhsaíochta. Chun pointí seasta 1 SF Υ a ríomh, is féidir feidhm chúnta veicteoireach M: R3 −→ R3 a shainiú, a bhaineann le 1 SF Υ ag baint úsáide as:

Ina theannta sin, má tá luach eigen λi den mhaitrís Seacaibíteach M{{{0}} arna mheasúnú ag pointe fosaithe x ∗ sásaíonn |λi|< 1 agus ceann eile λj ar nós |λj|> 1, ansin, tá x ∗ ar a dtugtar diallait pointe seasta. Mar shíneadh ar an gcoincheap i ndinimic aontoiseach, má shásaíonn luachanna eigneacha M0 (x ∗ ) |λj |=0 do gach luach de j=1, 2, . . . , m, mar sin, ní hamháin go bhfuil an pointe fosaithe x ∗ mealltach ach freisin thar a bheith tarraingteach. Dá bhrí sin, tá an modh cóineasú cearnach, ar a laghad ar an aicme feidhmeanna nonlinear a dhíorthú an fheidhm réasúnach (féach Tagairt [12]).

Trí phointe fosaithe mealltach de M a chur san áireamh x ∗, sainmhínítear imchuach an mheallta A(x ∗ ) mar thacar réamhíomhánna d’aon ord

Tá staidéar déanta ag údair éagsúla ar fheidhmíocht cháilíochtúil scéimeanna atriallach éagsúla atá deartha chun cothromóidí neamhlíneacha a réiteach le fréamhacha iolracha (féach, mar shampla, Tagairt [17-19]). Tá sé déanta trí úsáid a bhaint as dinimic casta scoite, toisc go bhfuil na scéimeanna seo go léir gan chuimhne. Sna staidéir seo, fuarthas amach, nuair a bhíonn modh atriallach (gan chuimhne) atá deartha chun gníomhartha fréamhacha iolracha a aimsiú ar fheidhm neamhlíneach le fréamhacha simplí agus iolracha, is gnách go leor go bhfuil na báisíní a bhaineann le fréamhacha simplí a mhealladh níos cúinge ná iad siúd a bhfuil fréamhacha iolracha acu. Go deimhin, féadfaidh na fréamhacha simplí sin pointí seasta den fheidhm réasúnach atá repulsive a shainiú. Dá bhrí sin, ba cheart go mbeadh an modh atriallach in ann ach fréamhacha iolracha a fháil.

Déantar an anailís cháilíochtúil seo a leanas ar p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Níos mó ná nó cothrom le 1 ionas go mbeidh cumas na scéime an dá shimplí agus déantar tástáil ar fhréamhacha iolracha (le iolrachas m).

Uirlis an-úsáideach chun na torthaí anailíseacha a shamhlú is ea plána dinimiciúil an chórais, comhdhéanta de shraith de imchuacha éagsúla is díol spéise. Anseo, tógtar plána dinimiciúil an mhodha atá beartaithe gTM trí fhithis mogalra de 800 × 800 pointe tosaigh (z, x) a ríomh le haghaidh luach seasta w sa ghreille tosaigh. Toisc gur gá na scéimeanna atriallacha a thosú le trí mheastachán tosaigh, gineann muid mogalra eitleáin dhinimiciúla, gach ceann acu le luach seasta w san eatramh [−1.75, 1.75]. Sna portráidí céime seo, déantar gach pointe den mhogalra a phéinteáil i ndathanna éagsúla (oráiste agus glas sa chás seo), ag brath ar an mealltóir a dtagann siad le chéile dó (marcáilte mar réalta bhán), le lamháltas 10−3. Ina theannta sin, bíonn siad le feiceáil i ndubh mura bhfuil aon phointe seasta tarraingteach bainte amach ag an bhfithis in uasmhéid de 500 atriall. De réir mar a athraítear luach seasta w i veicteoir de luachanna a bhaineann le [−1.75, 1.75], táirgeann sé comhdhéanamh figiúirí do gach iolracht, rud a fhágann go mbíonn cineál comhrianta ann.

I bhFíor 1, léirímid feidhmíocht na scéime gTM ar p(x), is é sin, oibreoir réasúnach TM le haghaidh fréamhacha simplí. Ag breathnú ar iompar na gceapacha éagsúla agus na trí chéad atriall ag athrú gach ceann i [−2, 2], tugtar an fhéidearthacht chobhsaí faoi deara. Is iad na báisíní de mhealladh na fréamhacha na cinn amháin; tá siad leathan, agus is é an t-aon fheidhmíocht dhifriúil (níos fearr ná a chéile i dtéarmaí simplíochta na teorann i measc na báisíní) an cás w=0, áit a bhfuil an fheidhm réasúnach simplithe. I ngach cás, tugtar faoi deara gurb é an t-aon iompar a d'fhéadfadh a bheith ag modh gTM ná an cóineasú go dtí na fréamhacha.

Ar an láimh eile, i bhFíor 2, léiríonn muid feidhmíocht an-chosúil nuair a bhíonn ceann de na fréamhacha dúbailte, agus tá an ceann eile simplí. Tá na báisíní mealltacha chomh leathan céanna, agus tá an iompar seo an-chosúil nuair a rinneadh iniúchadh ar iolrachtaí eile. Ina theannta sin, is féidir sa chás seo a fheiceáil nach bhfuil ach cóineasú ar na fréamhacha, toisc nach bhfuil ach cóineasú níos moille ag limistéir níos dorcha, mar gheall ar chastacht níos airde teorainn na mbonn tarraingthe.

4. Feidhmíocht Uimhriúil agus Trialacha Dinimiciúla

Sa chuid seo, déanaimid comparáid idir trí mhodh, eadhon SM2 (a éilíonn eolas ar an iolracht), SM1, agus gTM (díorthaithe ó mhodh Traub). Ní éilíonn an dá mhodh dheireanacha eolas ar an iolrachas, ach tá gá le meastóireachtaí feidhmiúla breise in aghaidh na céime atriallta (trí cinn i gcás SM1, dhá cheann i gcás gTM).

Déantar na modhanna a chur i gcomparáid go cáilíochtúil trí imchuacha na bhfigiúirí mealltacha agus go cainníochtúil trí roinnt beart. Is iad na bearta seo an t-am rite LAP chun an modh a rith ar phointí i gcearnóg 6 faoi 6 atá dírithe ar an mbunús. Roinneamar an chearnóg trí línte cothrománacha agus ingearacha a dháileadh go haonfhoirmeach agus ghlacamar gach pointe trasnaithe mar phointí tosaigh don phróiseas atriallach.

I gcás TM, modh le cuimhne, bhí orainn dhá phointe tosaigh breise a thógáil x−1=x0 + d agus x−2=x0 + 2d, cá bhfuil d an spásáil na línte. Critéar eile a bhailíonn an cód is ea an meánlíon atriallta in aghaidh an phointe (AIPP), ach, ós rud é go n-éilíonn na modhanna líon éagsúil meastóireachtaí feidhmiúla in aghaidh na céime, ghlacamar meánlíon na bhfeidhmeanna in aghaidh an phointe (AFPP). Is é an tríú critéar líon na bpointí éagsúla (DP), is é sin líon na bpointí nár tháinig an modh le chéile i 40 atriall ag baint úsáide as lamháltas 10−7.

Bunaithe ar Fhíor 3, is léir go bhfuil báisíní comhchosúla ag SM1 agus SM2, agus tá níos mó lobes ag gTM ar an teorainn idir an dá imchuach. Ó Fíor 4, tugaimid faoi deara go bhfuil gTM níos fearr ná SM1. Sna 3 fhigiúr seo chugainn, is fearr gTM, le báisíní níos leithne de mhealladh agus limistéir dhubh níos cúinge gan aon chóineasú ar na fréamhacha. Coinnítear an fheidhmíocht seo fiú i gcás feidhm neamh-ilchineálach f5. Thairis sin, i bhFíor 8, is féidir a thabhairt faoi deara go bhfuil na báisíní a bhaineann le modh SM2 a mhealladh níos leithne ná ár modh gTM.

Déanaimid tagairt anois do na sonraí i dTáblaí 1–3. Tá an t-am rite LAP i soicindí tugtha i dTábla 2. Tá SM2 comhsheasmhach níos tapúla ná na cinn eile. Mura bhfuil an t-iolrú ar eolas, ansin tá gTM níos tapúla ná SM1, ach amháin sa chéad sampla. Ar an meán, tá gTM níos tapúla ná SM1.

Is é meánlíon na meastóireachtaí feidhme in aghaidh an phointe (féach Tábla 2) an ceann is airde do SM1 do gach sampla. Tabhair faoi deara gurb é an sampla deireanach an ceann is deacra do gach modh. Is é líon na bpointí éagsúlaithe an líon is ísle do gTM i gcás samplaí 1, 3, agus 4. Tá na pointí is éagsúlaí ag SM1 as na chéad 6 shampla, ach, sa sampla deireanach, d'fheidhmigh gTM go dona agus tháinig sé sa tríú háit ar an iomlán. Bhí an modh SM2 is fearr, ar an meán, do na 3 chatagóir agus gTM ina dhiaidh sin do 2 chatagóir.

5. Conclúidí

Tá scéim atriallach nua tógtha le cuimhne a bhfuil an cumas fréamhacha simplí agus iolracha araon a aimsiú (gan a bheith eolach ar a n-iolrachas). Is é, chomh fada agus is eol dúinn, an chéad mhodh leis na hairíonna seo sa litríocht. Tá sé cruthaithe go bhfuil ord a chóineasaithe thart ar 1.84 le dhá mheastóireacht fheidhmiúla nua in aghaidh an atriallta; tugann sé seo an scéim chun éifeachtúlacht scéim Schröder gan chuimhne SM1 a fheabhsú, a bhfuil airíonna comhchosúla aici. Ag baint úsáide as fíor-dhinimic scoite iltoiseach agus iltéarmaí céim íseal le fréamhacha simplí agus iolracha, rinneadh anailís ar chobhsaíocht na scéime atá beartaithe, ag taispeáint réimsí leathana cóineasaithe don dá chineál fréamhacha.

Sa chuid dheireanach, thug modhanna Schröder agus gTM a ritheann ar roinnt samplaí deis dúinn a chinneadh, má tá an t-iolrachas ar eolas roimh ré, nach féidir le SM1 agus gTM dul san iomaíocht, cé go bhfuil gTM níos fearr ná SM1. Mar sin féin, nuair nach bhfuil an t-iolrachas ar eolas, léiríonn an modh molta gTM feidhmíocht an-mhaith agus éifeachtúlacht níos fearr ná modhanna SM1, i dtéarmaí ama forghníomhaithe, costas ríomhaireachtúil, agus leitheadúlacht na mbonn tarraingthe.

Ranníocaíochtaí Údair:

Coincheapú, AC agus JRT; modheolaíocht, BN; bogearraí, AC agus BN; bailíochtú, BN; anailís fhoirmiúil, JRT; imscrúdú, AC; scríbhneoireacht – dréacht-ullmhú bunaidh, AC agus BN; scríbhneoireacht — athbhreithniú agus eagarthóireacht, JRT; maoirseacht, BN agus JRT Tá an leagan foilsithe den lámhscríbhinn léite agus aontaithe ag na húdair go léir.

Maoiniú:

Thacaigh PGC{0}}B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE) leis an taighde seo i bpáirt.

Ráiteas Toilithe Feasach:

Neamhbhainteach.

Buíochas:

Ba mhaith leis na húdair buíochas a ghabháil leis na hathbhreithneoirí gan ainm as a gcuid moltaí agus tuairimí a chuir feabhas ar leagan deiridh na lámhscríbhinne seo.

Coinbhleachtaí Leasa:

Ní dhearbhaíonn na húdair aon choinbhleacht leasa.

Tagairtí

1. Petkovi´c, M.; Neta, B. ; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Modhanna Ilphointe chun Cothromóidí Neamhlíneacha a Réiteach; Academic Press: Oxford, RA, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Dul chun Cinn i Modhanna atriallacha le haghaidh Cothromóidí Neamhlíneacha; SEMA SIMAI Springer Sraith 10; Springer: Cham, An Eilvéis, 2016.

3. Behl, R. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR Scéim nua ardoird barrmhaith saor ó dhíorthaigh le haghaidh fréamhacha iolracha. J. Ríomhaire. Appl. Math. 2021, 113773, sa phreas. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C. ; Aggarwal, P.; Chu, YM Algartam uimhriúil barrmhaith ceathrú-ordú saor ó dhíorthaigh le haghaidh fréamhacha iolracha. Siméadracht 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M. ; Afzal, T. Teaghlach ina bhfuil feidhm atriallach optamach san ochtú hord maidir le fréamhacha iolracha agus a dhinimic. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Teaghlach de mhodhanna atriallach cúigiú ordú chun fréamhacha iolracha cothromóidí neamhlíneacha a aimsiú. Uimhir. Anal. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Aicme éifeachtach modh saor ó dhíorthaigh ceathrú ordú le haghaidh fréamhacha iolracha. Int. J. Neamhlíne Sci. Uimhir. Comhshamhail. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR Teaghlach de mhodh ceathrú-ordú is fearr le haghaidh fréamhacha iolracha de chothromóidí neamhlíneacha. Math. Modhanna Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algartam zur Auflösung der Gleichungen. Math. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF An t-ord is fearr d'atriallta aon phointe agus ilphointe. J. Cumann. Ríomhaire. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Réiteach atriallach Cothromóidí Neamhlíneacha i Roinnt Athróga; Academic Press: Cambridge, MA, SAM, 1970.

12. Traub, JF Modhanna atriallacha chun Cothromóidí a Réiteach; Prentice Hall: Hoboken, NJ, SAM, 1964.

13. Ostrowski, AM Réitigh Cothromóidí agus Córais Cothromóidí; Acadúil Press: Nua Eabhrac, NY, SAM; Londain, An Ríocht Aontaithe, 1966.

14. Campos, B. ; Cordero, A. ; Torregrosa, JR; Vindel, P. Cur chuige dinimiciúil iltoiseach maidir le modhanna atriallacha le cuimhne. Appl. Math. Ríomhaire. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Réamhrá ar Chórais Dhinimiciúla Chaotic; Dul chun cinn sa Mhatamaitic agus san Innealtóireacht; CRC Press: Boca Raton, FL, SAM, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com